Классификация пирамид.

История
Древние цивилизации, История изобретений

Данная работа выходит за рамки обычной статьи, поскольку подразумевает многолетние сбор материалов и затем его анализ. Возможно, правильнее было бы оформить для этого отдельный минисайт. Подумаем. Но сейчас, в формате этой статьи в кратце ознакомим с деталями. Итак, начнём.
Не знаю, почему так происходит, но людям свойственно видеть то, чего нет и не видеть то что есть. Когда я собирался раскрыть секреты пропорций египетских, да и вообще всех пирамид, начал с того, что пошёл читать что накопали до того. Накопали в смысле наанализировали. Вот в этом слове корень иногда играет свою "вторую" роль :) , поскольку лучше бы я этого не делал, поскольку и "мистические координаты", и "отражения звёздных систем", и "священные пропорции" изрядно засоряют действительно значимые технические моменты.
Всякое открытие есть результат некой одержимости и упорства исследователя. Даже если оно падает на голову в виде яблока или снится, оно снится именно тому, кто к этому шёл. Тысячи яблок падали безрезультатно и только одно сработало. Мы каждую ночь спим и совсем не каждый раз видим периодическую таблицу. Можно сказать, большинство из нас её вообще никогда во сне не увидит.
Так было и на этот раз. После многих лет сбора материалов, анализа и рассчётов, проверок гипотез, реальность оказалось настолько очевидной, что стало просто смешно. Смешно от того, как мы иногда любим додумывать что-то там где этого нет. И наоборот, кстати.
Итак, пару лет назад, когда мой интерес к сабжу был максимален, принялся я за теорию.
Для того, чтобы предметно говорить о классификации пирамид, необходимо выйти на понимание той вычислительной базы, которой располагали древние. Древние - не значит глупые и бестолковые, часто даже наоборот, но и приписывать им что-то сверхъестественное тоже было бы неверно.
Одной из основ математики египтян являлась последовательность Фибоначчи и другие арифметические прогрессии. Мы не будем остановливаться на личности этого итальянского математика - он к древним совсем не принадлежал и наверняка эта последовательность у древних называлась по-другому, но факт в том, что она очень плотно использовалась при постройке пирамид. Последовательность представляет собой ряд чисел, где каждое следующее является суммой двух предыдущих
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 и так далее.
Второй базой являлись аликвотные дроби, то есть дроби типа 1/X, где х-натуральное число. Но поскольку эти дроби только затрудняли вычисления и были скорее тормозом, поэтому рассмотрим ближе последовательность Фибоначчи. Понятно, что вычислить её древним не составляло труда. Эта последовательность обладает множеством качеств, но основное в ней то, что отношение двух соседних членов при увеличении последовательности сколь угодно близко стремится к числу Фи. Фи - это отношение золотого сечения.
Фи = 1.618033988749894848204586834 (на первое время точности пока хватит), в математике обозначается как φ.
Фи - главный хамелеон математики. Иоган Кеплер (это который человек и телескоп сейчас) как-то раз выразился, что у геометрии есть два сокровища, это теорема Пифагора и число Фи. Согласимся с небританским (а немецким) учёным. В чём же хамелеонизм Фи? В определении. Фи есть такое отношение между собой двух частей целого, когда одна из частей также относится к самому целому. Говоря по-русски
Фи**2 - 1 = Фи - число определяется через квадрат самого себя.
Фи-1 = 1/Фи - и вот это тоже.
Фи**3 = Фи(Фи+1) и много-много других свойств.
В математике это означает что самые запутанные квадратично - корневые выкладки могут волшебным способом упроститься, если уметь применять это волшебство. Хорошее слово "если". Когда я в 2012 году начинал эти вычисления, то понятия не имел об этих свойствах Фи, и всё выводил как учили на факультете прикладной математики. Выкладки множились, росли, усложнялись, давая понять, что просто так к себе они никого не подпустят. Я делал паузы, заходил сбоку, но ситуация не менялась, пока я не вернулся последовательности Фибоначчи.
Дело в том, что иногда численные методы позволяют двигать теорию. Экспериментально проверенные данные позволяют сделать шаг в формулах. Так было и в этот раз. В последовательности Фибоначчи сокрыто множество интересного. Например, мы знаем, что отношение между соседними членами последовательности вверх 1.618 а вниз 0.618. Уже красиво, но мы идём дальше, отношение каждого второго вверх и вниз 2.618 и 0.382 (это кстати Фи**2 и ему обратное число). Третьего - 4.235 и 0.236 (Фи**3 и 1/Фи**3), а? как оно? Идём дальше, товарищи, берём корни квадратные от них, получаем, 0.486, 0.786, 1.272, 2.058. А теперь и корни третьей степени - 1.174 (от Фи), 1.378 (от Фи**2), 1.899 (от Фи**4). Пока хватит, потом по мере будем добавлять.
Пытливый читатель уже потянулся к телефонной книге за номером Кащенко для автора, но пока не торопимся вызывать санитаров, всё интересное впереди :) Итак, итоговая последовательность, основанная на последовательности Фибоначчи будет
0.236, 0.382, 0.618, 1.174, 1.378, 1.618, 1.899, 2.058, 2.618, 4.235
Удивительно, но эти числа, оказалось, вовсю используются трейдерами для онлайн торгов. Их я нашёл один в один в нескольких маркетинговых справочниках. Какое же отношение они имели к математике древних? Оказалось, самое непосредственное. Для ответа на этот вопрос нужно сделать небольшое лирическое отступление.
Математика пирамид.
В начале мне были известны точные пропорции двух прирамид - Большой в Гизе и Золотого сечения, которую Голод везде строит.  Геродот, как сейчас помню, авторитетно заявлял, что Большая пирамида строилась так, чтобы площадь грани была равна квадрату высоты.
аh = H**2

Пропорция "Голодной" пирамиды определяется золотым сечением радиусов вписанных окружностей.

R/r = 1.618

Задача была поставлена следующая -  найти общее правило пропорций для все пирамид, без разницы, египетские они, китайские или майя. То есть общий принцип классификации всех пирамид без исключения. Такого насколько мне известно, нигде не было, классифицировали кто в лес кто по дрова, но у меня было абсолютная уверенность, что пирамиды Майя, Египта, Судана, Китая постоены по одному и тому же закону и что он как-то связан с законом Фибоначчи.

Для начала я вывел значения основных параметров для Большой пирамиды:
а = 1, Н = 1.272, h = 1.618
И их же аналоги для пирамиды золотого сечения
а = 1, Н = 4.116, h = 4.235
Практически все цифры из пост-Фибоначчи последовательности! А число 4.116 на самом деле тоже оттуда - 2.058*2. Но в реальности всё было по-другому, поскольку выводить я начинал "по-уму", через теорию. Выглядело это так.

И таких листов была целая стопка. Некоторые с двух сторон.
Надо сказать, что хоть я и не угадал с формулами, но зато однозначно угадал с тем, какую из величин принять за 1. Благодаря этому в последствии все значения из пост-Фибоначчи последовательности начали бодро проявляться.
Но поскольку из этих первых цифр ничего не последовало, я сделал паузу и вновь приступил к расчётам, ориентируясь на другие параметры.
В параметры были взяты радиусы вписанных в пирамиды окружностей. Известно, что для пирамиды золотого сечения они соотносятся как
R/r = 1.618
Итак, чему они равны в пирамиде Хеопса?

Вывод формулы показал, что для любой (неломаногранной) пирамиды радиусы вписаных окружностей соотносятся как
R/r = H/H-2R, то есть радиус второй окружности и не нужен для вычислений.
И тут начались проблемы. Геометрию я вроде неплохо знаю, но теоретически, без углов, R получить не удавалось. В численных значениях - пожалуйста, через арккосинус половинного угла при грани пирамиды, а потом тангенс, то есть
R = tg(α/2)a, где α = arccos(a/h), но проблема в том, что это численные методы, а не чистые формулы, плюс я сомневаюсь, чтобы у древних были поминутные таблицы Брадиса тригонометрических функций и их обратных тоже.
Значение было впечатляющим, конечно, 4.2358, то есть Фи**3, но как способ классификации не годилось, поскольку почти наверняка древние пользовались другим методом. Причём, была полная уверенность, что метод должен быть феноменально прост.
И тогда была взята ещё одна пауза, поторая закончилась одной простой догадкой. Мы уже заметили, что древние яростно пользовались числом Фи, которое определяется через свой квадрат. И тут появилась идея, раз Геродот давал классификацию Большой пирамиды через площадные соотношения, значит есть шанс, что пирамиды классифицировались по площадным параметрам. Какие могут быть параметры?
Первый - геродотовский: отношение площади грани к квадрату высоты. Для Большой пирамиды - это единица, для пирамиды золотого сечения это 4. Всего одна натуральная цифра для характеристики пирамиды - это более чем я ожидал!
Радости моей не было предела, но возникли вопросы - как классифицировать пирамиды с более низкими гранями и ломаные пирамиды, причём метод должен предсказывать параметры пирамиды заранее.
Тут "подвернулась под руку" розовая пирамида в Дахшуре, а вернее её параметры: высота 104,4м, основание - 218,5 × 221,5м. Очевидно, что значения
а = 110м, Н = 104м, h = 151м. Отсюда H**2/ah = 0.6511 - число "ниочём". Для класификации не годится, а рядом в Дахшуре вообще ломаная пирамида стоит с двумя разными гранями. Там две высоты и два основания. То есть отношение площади квадрата высоты к площади грани, поскольку применимо только к прямым пирамидам и пирамидам относительно не ниже Хеопса, не работает.
И опять была пауза и опять возвращение к площади. И тогда на помощь опять пришла логика. У каждой прирамиды есть две площади - площадь основания и площадь самой пирамиды. Причём, очевидно, что для квадратной призматической пирамиды её относительная площадь определяется углом грани пирамиды. А что если рассмотреть отношение площадей - "приподнятой площади", то есть суммы всех граней, и площади основания.
Для любой неломаной пирамиды это отношение равно
4ah/4a**2 = h/a. ВСЕ!
Одно отношение, даже не квадратичное, позволяет определять как пропорцию пирамиды, так и угол грани, поскольку h и a принадлежат одному и тому же треугольнику сечения пирамиды посередине грани.
И чему же равно это отношение в случае Большой пирамиды?

h/a = 1.618, то есть Фи!
А чему в случае пирамиды золотого сечения, так любимой Голодом?
h/a = 4.2358, то есть Фи**3!
Сломя голову несёмся к Розовой пирамиде в Дарфуре
h/a = 1.372, то есть Фи**(2/3) с погрешностью всего 0.006
Это число есть в нашей пост-Фибоначи последовательности
Переходим к её "ломаной" подруге
Верхняя половина - 1.378, то есть опять Фи**(2/3), с совпадением до 3го знака!
Низ - 1.72. Упс. Не сходится. Тут я было приуныло, но на моё счастье я прочитал историю этой пирамиды, где чёрным по белому было сказано, что пирамида 3 раза перестраивалась и что первоначальный её угол был 58 градусов. С замиранием и предвкушением взялся вычислить отношение для этого угла и получил
Низ - 1.887, что оказалось Фи**(4/3). с точностью 0.012
Всё. Классификация была найдена!
То есть египтяне в угле наклона граней пирамид, а именно он является определяющим для пирамиды, пользовались шагом, кратным корню кубическому из Фи, т.е. Фи**(1/3)

И вот, когда вся моя стройная теория уже сверкала и искрилась, дёрнуло меня пойти посмотреть, чем же они меряли угол наклона грани. И тут всё началось. Оказалось, для измерения наклона грани они использовали угломер Секед. О, думаю, секретное устройство инопланетной технологии! Вот как выглядело это устройство.

В высоту 1 локоть - кубит или 7 ладоней или 28 пальцев, в длину откладывалось значение угла тоже в пальцах!!!! Вот вам и значение шага в корень кубический из Фи! Вся моя теория под тяжестью этих простейших устройств рассыпалась как карточный домик.

Египтяне измеряли пирамиды в пальцах!

Эта истина потребовала проверки и мгновенно подтвердилась. Угол наклона
пирамиды Хеопса
tgα = tg(51.84°) = 1.272 = 28/22 - двадцать два пальца!
Пирамида Хефрена
tgα = tg(53.13°) = 1.333 = 28/21 - двадцать один палец, Карл!
Пирамида Снофру ломанная, которая старше Хеопса
нижняя грань tgα = tg(54,46°) = 1.4 = 28/20 - двадцать пальцев
верхняя грань tgα = tg(43,03°) = 0.933 = 28/30 - тридцать пальцев
скрытая грань tgα = tg(58,74°) = 1.647 = 28/17 - семнадцать пальцев
Пирамида Снофру розовая, тоже старше Хеопса
tgα = tg(43,03°) = 0.933 = 28/30 - тридцать пальцев
Дальше я просто остановился.
Итак, египтяне опытным путём подобрали значение пальцев равное 28/22 для пирамиды Хеопса, при котором оказалось что площадь грани равна квадрату высоты и продолжали строить именно эту пропорцию, поскольку она оказалась самая эффективная. Для чего, это уже второй вопрос, но они, даже построив её, попробовали немного, на один палец, изменить пропорции в пирамиде Хефрена (Хефрен, сын Хеопса, хотел папу перещеголять) и таки вернулись к 28/22.
А мы всё ищем "священные пропорции", "тригонометрическую математику древних", инопланетян и прочую белиберду. А ларчик всегда открывается просто. Нужно просто знать где кнопка :)
Всех вам благ и с весенним равноденствием! :)